Překládáme náš obchod do češtiny!
Protože však máme mnoho produktů a stránek, bude to nějakou dobu trvat. Mezitím bude náš katalog produktů k dispozici v angličtině. Děkujeme vám za trpělivost!
Výpočet hmotného středu – včetně příkladů
Výpočet hmotného středu je důležitým krokem v mnoha úkolech ve strojírenství a při navrhování strojů a součástí. Hmotný střed značí, kde je hmotnost těla koncentrována, a umožňuje tak stanovení sil a momentů v systému. Tento článek zkoumá základy výpočtu hmotného středu a uvádí příklady z reálného světa.
Co je to hmotný střed?
Hmotný střed je místo, kde je soustředěna celá hmotnost tělesa. Určuje se umístěním všech jednotlivých hmot v systému a jejich vzdálenostmi k počátečnímu bodu.
Hmotný střed je „místo, na které nejvíce působí“ gravitace. Objekt se chová jako hmotný bod v gravitačním poli.
Důležité – hmotný střed může být také mimo těleso. Například na hemisférických skořepinách. Krouticí moment je neúčinný, pokud je vyvíjen v těžišti.
Pro homogenní tělesa (tj. všude stejná hustota) odpovídá hmotný střed geometrickému těžišti (objemový střed) – tato tělesa jsou tzv. triviální jednotlivé hmoty. Těžiště homogenních těles se proto určuje nejsnadněji.
Opakem homogenních těles jsou tzv. nehomogenní tělesa - mají v úsecích tělesa různou hustotu. Nelze je považovat za jednotlivé hmoty. Taková tělesa musí být rozdělena na vhodné individuální hmoty, vypočtena jednotlivě a nakonec sesouhlasena do celého systému.
Výpočet hmotného středu je důležitý v mnoha inženýrských aplikacích.
Příkladem je konstrukce stroje a jeho součástí: zde musí být zvoleno těžiště komponent tak, aby byl celkový stroj stabilní a bezpečný a jeho součásti byly správně „vyvážené“.
Metody pro výpočet hmotného středu
Existují různé metody pro určení hmotného středu v závislosti na geometrii a způsobu distribuce hmoty (hustot) v systému.
- Na homogenních tělesech může být jako těžiště zvoleno těžiště za předpokladu, že jsou rovnoměrně rozloženy všechny hustoty.
- U nehomogenních těles musí být stanoven hmotný střed s přihlédnutím ke všem bodovým hustotám.
Obecně lze těžiště vypočítat jako součet všech dílčích mas, vynásobený jejich příslušnými vzdálenostmi k počátku, vydělený celkovou hmotností. Těleso je rozděleno na konečný počet dílčích množství.
Moderní programy CAD nebo FEM (metoda konečných prvků) nabízejí takové metody výpočtu hmotného středu jako standardní funkce.
Hmotný střed a objemový střed
Objemový střed nebere v úvahu hmotnost nebo hustotu těla. Objemový střed je proto zvláštním případem hmotného středu vzhledem k rovnoměrně rozložené hustotě objektu.
Výpočet hmotného středu může být zjednodušen pro homogenní těla.
Úsilí a užitečnost výpočtů
Vhodné dělení jednotlivých mas není vždy triviální – zejména u nerovnoměrně distribuovaných hustot. Takové problémy lze vyřešit výpočetním a experimentálním způsobem. Očekává se, že přesnost výsledku bude záviset na proveditelné hloubce výpočtu nebo přesnosti měření. Výsledky lze pouze aproximovat – je tedy třeba zvážit úsilí a přínos.
Hmotný střed pro homogenní těla
Pro homogenní tělesa, jako je kvádr nebo válec, může být těžiště snadno určeno geometrickými úvahami.
V tomto případě lze pro zjednodušení problému použít symetrie.
Hmotný střed odpovídá geometrickému těžišti a lze jej snadno vypočítat. V tomto příkladu je hmotným středem současně střed kruhové plochy a promítaná plocha obdélníku.
Hmotný střed pro nepravidelně tvarované předměty nebo nehomogenní předměty
U objektů s nepravidelným tvarem je nutné každý bod (bodovou hustotu) zvážit individuálně a vypočítat jeho podíl na celkové hmotnosti.
Tento přístup se také nazývá integrace.
Polyedr (mnohostěn) s rovnoměrně rozloženou hustotou
Geometrické těžiště tělesa se počítá rozdělením tělesa na vhodná částečná tělesa. Těžiště těchto částečných těles jsou vypočtena a poté vážena na podíl plochy nebo objemu.
Geometrické těžiště je hmotným středem.
Polyedr (mnohostěn) s nerovnoměrně rozloženou hustotou
Geometrické těžiště tělesa s nerovnoměrně distribuovanou hustotou je totožné s geometrickým těžištěm tělesa s rovnoměrně distribuovanou hustotou.
Geometrické těžiště neleží ve hmotném středu.
Těleso musí být rozděleno na vhodná částečná tělesa a jejich individuální těžiště musí být určena na základě tvaru a nerovnocenně distribuované hustoty.
Hmotný střed se vypočítává z částečných těles s přihlédnutím k objemu tělesa a tělesné hmotnosti
(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i
- M - Celková hmotnost
- mi - Částečná hmotnost
- (xsi, ysi, zsi) – souřadnice těžiště částečného tělesa 1 v prostorově fixním souřadnicovém systému (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - těžiště celého objektu v prostorově fixním souřadnicovém systému (x, y, z)
Explicitní vzorec pro hmotný střed
Pokud provádíte postupně jemnější rozdělení, částečné objemy nebo částečné hmoty se „přibližují nule“. V důsledku toho je výše uvedený aproximační vzorec převeden na integrál.
Těžiště tak lze velmi přesně určit:
x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV
y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV
z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV
- M - Celková hmotnost
- p(x, y, z) – lokální hustota materiálu
- V - Objem komponenty
Hmotný střed pro složené systémy
Sloučené systémy se skládají z několika vzájemně propojených jednotlivých těles, z nichž každé má své vlastní těžiště.
Abyste nalezli společné těžiště všech dílčích objektů, musí být každý z těchto bodů vážen odpovídající hmotností.
Příklad výpočtu: Kombinované těžiště dvou podsystémů
Systém sestávající ze dvou odlišných podsystémů je zkombinován do kombinovaného těžiště.
x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
- m1 – Hmotnost částečného tělesa 1
- (xs1, ys1, zs1) – souřadnice těžiště částečného tělesa 1 v prostorově fixním souřadnicovém systému (x, y, z)
- m2 – Hmotnost částečného tělesa 2
- (xs2, ys2, zs2) - souřadnice těžiště částečného tělesa 1 v prostorově fixním souřadnicovém systému (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - těžiště celého objektu v prostorově fixním souřadnicovém systému (x, y, z)
Experimentální stanovení hmotného středu
Hmotný střed může být také určen experimentálně. Metody experimentálního měření mají některé výhody oproti čistě teoretickým výpočtům:
- Jsou nezávislé na modelu materiálu,
- automaticky zvažují všechny zdroje chyb,
- poskytují přímé měření, které není závislé na předpokladech nebo odhadech.
Metoda oscilace
Metoda oscilace je založena na principu harmonické oscilace. To zahrnuje zavěšení předmětu na tenký drát a jeho oscilaci. Úhlovou rychlost lze vypočítat měřením doby trvání. Úhlová rychlost pak může být použita k určení vzdálenosti mezi bodem zavěšení a hmotným středem.
| Výhody: |
|
| Nevýhody: |
|
Metoda váhy
Tato metoda umístí předmět, který má být vyšetřen, na plošinovou váhu a změří jeho hmotnost. Stejný postup se pak provádí s druhou hmotností pro změření vzdálenosti mezi oběma body. Vynásobení síly hmotnosti vzdáleností má za následek momentovou rovnici pro určení středu hmoty.
| Výhody: |
|
| Nevýhody: |
|
Metoda náklonu
Metoda náklonu je založena na principu statické stability. Vyšetřovaný předmět se umístí na rovný povrch a testuje se na náklon přesunutím závaží do různých poloh. Střed hmoty pak může být také určen stanovením gravitační středové čáry.
| Výhody: |
|
| Nevýhody: |
|
